Egzamin maturalny z matematyki, poziom rozszerzony - czerwiec 2015 (termin dodatkowy)

Funkcje

Pochodna funkcji i jej zastosowania

Która z poniższych funkcji, określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, nie ma minimum lokalnego ani maksimum lokalnego?
A. $f(x)=4x^2+5x$
B. $f(x)=3x^3+2x^2$
C. $f(x)=\frac{1}{3}x^3+2x$
D. $f(x)=(4x+1)^2$

Podpowiedź:

Funkcja kwadratowa ma zawsze minimum lub maksimum lokalne. Funkcje z punktu A. i D. są funkcjami kwadratowymi. Obie mają minimum lokalne.
Funkcja różniczkowalna ( funkcje wielomianowe są funkcjami różniczkowalnymi), może posiadać maksimum lub minimum lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero.

Rozwiązanie:

Funkcja kwadratowa ma zawsze minimum lub maksimum lokalne. Funkcje z punktu A. i D. są funkcjami kwadratowymi. Obie mają minimum lokalne.
Funkcja różniczkowalna, może posiadać maksimum lub minimum lokalne tylko w punktach, w których jej pochodna równa się zero.
Badamy funkcję z punktu B.:
$\begin{split}
f(x)=3x^3+2x^2,\\
f'(x)=9x^2+4x=x(9x+4).\\
\end{split}$
Pochodna funkcji $f$ jest funkcją kwadratową, ma dwa miejsca zerowe i w każdym z tych miejsc zerowych zmienia znak, więc funkcja $f$ ma dwa ekstrema lokalne (minimum i maksimum lokalne).
Pozostała funkcja $f(x)=\frac{1}{3}x^3+2x$ (punkt C.)
$\begin{split}
f'(x)=x^2+2.
\end{split}$
$f'(x)>0$ dla każdego $x\in \mathbb{R}$, więc funkcja $f$ nie ma ani minimum, ani maksimum lokalnego.

Odpowiedź:

C.