Ciąg arytmetyczny

Ciąg arytmetyczny

Ciąg liczbowy $\left(a_n\right)$ nazywamy arytmetycznym, jeżeli istnieje taka liczba $r$, że $a_{n+1}-a_n=r$ dla dowolnego $n\geqslant 1$. Liczbę $r$ nazywamy różnicą ciągu arytmetycznego.
Jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu, to każdy inny wyraz tego ciągu można obliczyć ze wzoru$$\begin{gather*}a_n=a_1+(n-1)r.\end{gather*}$$
Każde trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego związane są równością:
$$\begin{gather*}a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2},\text{ dla }n\geqslant 2.\end{gather*}$$Możemy powiedzieć, że każdy począwszy od drugiego, wyraz ciągu jest średnią arytmetyczną wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego i wyrazu bezpośrednio po nim następującego.
Ciąg arytmetyczny zawsze jest ciągiem monotonicznym .
Jest ciągiem malejącym gdy $r<0$, stałym gdy $r=0$, rosnącym gdy $r>0$.
Suma $S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$ n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wyraża się wzorem$$\begin{split}S_n&=\frac{a_1+a_n}{2}n=\\ &=\frac{2a_1+(n-1)r}{2}n.\end{split}$$