Ciąg geometryczny

Ciąg geometryczny

Ciąg liczbowy $\left(a_n\right)$ nazywamy geometrycznym, jeżeli istnieje taka liczba $q$, że $\begin{gather*}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\end{gather*}$ dla dowolnego $n\geqslant 1$. Liczbę $q$ nazywamy ilorazem ciągu geometrycznego. Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego i jego iloraz są liczbami różnymi od zera.
Jeżeli znamy pierwszy wyraz ciągu, to każdy inny wyraz tego ciągu można obliczyć ze wzoru$$\begin{gather*}a_n=a_1q^{n-1}.\end{gather*}$$Każde trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego związane są równością:$$\begin{gather*}a_n=\sqrt{a_{n-1}a_{n+1}},\text{ dla }n\geqslant 2.\end{gather*}$$Możemy powiedzieć, że każdy, począwszy od drugiego, wyraz ciągu jest średnią geometryczną wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego i wyrazu bezpośrednio po nim następującego.
Ciąg geometryczny jest ciągiem monotonicznym wtedy i tylko wtedy, gdy $q>0$.
Jest ciągiem malejącym, gdy $0< q<1$, stałym dla $q=1$, rosnącym dla $q>1$.
Dla $q<0$ ciąg geometryczny ma na przemian wyrazy dodatnie i ujemne.
Suma $S_n=a_1+a_2+\dots+a_n$ n-początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyraża się wzorem$$\begin{split}S_n&=a_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}.\end{split}$$