Logarytmy

Logarytmy

Dla dodatniej liczby $x$ oraz dodatniej i różnej od 1 liczby $a$, logarytmem o podstawie $a$ liczby $x$ nazywamy taką liczbę $b$, że $\begin{gather*}a^b=x.\end{gather*}$.
Logarytm przy podstawie $a$ liczby $x$ oznaczamy symbolem $\log_ax$.
Liczbę $a$ nazywamy podstawą logarytmu, a liczbę $x$ liczbą logarytmowaną.
Zgodnie z tą definicją$$\log_ax=b\iff x=a^b.$$
Przykład
$\begin{gather*}
\log_24=2
\end{gather*}$, bo $2^2=4$,
$\begin{gather*}
\log_82=\frac{1}{3}
\end{gather*}$, bo $\begin{gather*}8^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{8}=2\end{gather*}$
$\begin{gather*}
\log_{81}\frac{1}{9}=-\frac{1}{2}
\end{gather*}$, bo $\begin{gather*}
81^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{81^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{81}}=\frac{1}{9}.
\end{gather*}$
Przyjmujemy dodatkowo oznaczenie
$\log_{10}x=\log x$ (nie piszemy podstawy).
Logarytmy o podstawie $10$ nazywamy logarytmami dziesiętnymi.
Przykład
$\begin{gather*}
\log100=2,
\end{gather*}$, bo $\begin{gather*}
10^2=100
\end{gather*}$,
$\begin{gather*}
\log0,001=-3
\end{gather*}$, bo $\begin{gather*}
10^{-3}=\frac{1}{10^3}=0,001.
\end{gather*}$

Podstawowe wzory

$\begin{gather*}
\log_a(x\cdot y)=\log_ax+\log_ay,
\end{gather*}$
$\begin{gather*}
\log_a\frac{x}{y}=\log_ax-\log_ay,
\end{gather*}$
$\begin{gather*}
\log_ax^p=p\log_ax.
\end{gather*}$
$\begin{gather*}
\log_ax=\frac{\log_bx}{\log_ba}
\end{gather*}$

Zauważmy również, że $\begin{gather*}\log_a1=0\end{gather*}$ oraz $\log_aa=1$ dla $a\in(0,1)\cup(1,+\infty).$
Przykład
$\begin{gather*}\log_2\frac{1}{4}-\log_22=\log_2\left(\frac{1}{4}:2\right)=\log_2\frac{1}{8}=-3\end{gather*}$
$\log_34,5+\log_32=\log_3(4,5\cdot 2)=\log_39=2$