Nierówności z wartością bezwzględną (1)

Nierówności z wartością bezwzględną (1)

Niech $a\in\mathbb{R}$ będzie dowolną liczbą dodatnią. Niech $g(x)$ będzie dowolnym wyrażeniem ze zmienną $x$.
Wtedy nierówność $|g(x)|< a$ jest równoważna układowi nierówności: $ g(x) < a\ \ \wedge\ \ g(x)> -a$, co można zapisać
$\begin{gather*}
|g(x)|< a\iff \begin{cases} g(x) < a \\
g(x)> -a.\end{cases}
\end{gather*}$
Zupełnie analogiczną równoważność otrzymamy dla nierówności $|g(x)|\leqslant a$
$\begin{gather*}
|g(x)|\leqslant a\iff \begin{cases} g(x) \leqslant a \\
g(x)\geqslant -a.\end{cases}
\end{gather*}$


Przykład 1.
Rozwiążmy nierówność $|5-x|<8$.

$\begin{split}
|5-x|&<8\\
5-x< 8\ \ &\wedge\ \ 5-x>-8\\
-x<3\ \ &\wedge\ \ -x>-13\\
x>3\ \ &\wedge\ \ x<13\\
x&\in(3,13)
\end{split}$
Przykład 2.
Rozwiążmy nierówność $|2x-12|\leqslant 24$.

$\begin{split}
|2x-12|&\leqslant 24\\
2x-12\leqslant 24\ \ &\wedge\ \ 2x-12\geqslant -24\\
2x\leqslant 36\ \ &\wedge\ \ 2x\geqslant -12\\
x\leqslant 18\ \ &\wedge\ \ x\geqslant -6\\
x&\in\left\langle -6,18\right\rangle
\end{split}$