Nierówności z wartością bezwzględną (2)

Nierówności z wartością bezwzględną (2)

Niech $a\in\mathbb{R}$ będzie dowolną liczbą dodatnią. Niech $g(x)$ będzie dowolnym wyrażeniem ze zmienną $x$.
Wtedy nierówność $|g(x)|> a$ jest równoważna alternatywie nierówności: $ g(x) > a,\ \ g(x)< -a$, co można zapisać
$\begin{gather*}
|g(x)|> a\iff \Big(g(x)>a\ \ \vee\ \ g(x)<-a\Big)
\end{gather*}$
Zupełnie analogiczną równoważność otrzymamy dla nierówności $|g(x)|\geqslant a$
$\begin{gather*}
|g(x)|\geqslant a\iff \Big(g(x)\geqslant a\ \ \vee\ \ g(x)\leqslant -a\Big)
\end{gather*}$


Przykład 1.
Rozwiążmy nierówność $|6-3x|>18$.

$\begin{split}
|6-3x&>18\\
6-3x>18\ \ &\vee\ \ 6-3x<-18\\
-3x>12\ \ &\vee\ \ -3x<-24\\
x<-4\ \ &\vee\ \ x>8\\
x&\in(-\infty,-4)\cup(8,+\infty)
\end{split}$
Przykład 2.
Rozwiążmy nierówność $|x-7|\geqslant 9$.

$\begin{split}
|x-7|&\geqslant 9\\
x-7\geqslant 9\ \ &\vee\ \ x-7\leqslant -9\\
x\geqslant 16\ \ &\vee\ \ x\leqslant -2\\
x&\in(-\infty, -2\rangle\cup\langle16,+\infty)
\end{split}$