Nierówności z wartością bezwzględną (3)

Nierówności z wartością bezwzględną (3)


Rozpatrzmy nierówność w której niewiadoma występuje więcej niż raz w postaci $|ax+b|$ lub dodatkowo występuje bez wartości bezwzględnej.
Np.:
$|x|+|x-4|\leqslant 6-x$,
$|x-3|-|1-x|-5\geqslant 0$,
$|x+2|+|2x-3|-x<6$,
$|x+2|+|2x-3|-|x|>x+6$
$3|x-4|\leqslant 7x$.

W każdym z tych przypadków postępujemy według schematu:
1. Wyliczamy miejsca zerowe wszystkich wyrażeń, które w nierówności występują pod znakiem wartości bezwzględnej.
2. Otrzymane liczby zaznaczamy na osi liczbowej. Punkty te dzielą oś liczbową na przedziały.
3. W każdym z tak otrzymanych przedziałów, osobno rozwiązujemy daną nierówność. Znak wartości bezwzględnej opuszczamy w każdym z przypadków zgodnie z definicją wartości bezwzględnej.. Pamiętaj, ze bierzemy pod uwagę tę część otrzymanego rozwiązania, która mieści się w danym przedziale.
5. Łączymy (sumujemy) wszystkie rozwiązania otrzymane w poszczególnych przedziałach.


Przykład.
Rozwiążemy pierwszą z podanych nierówności: $|x|+|x-4|\leqslant 6-x$.
Punkty $x=0$ i $x=4$, dzielą oś liczbową na trzy przedziały. Wyrażenie $x$ zmienia znak z ujemnego na dodatni punkcie $0$, a wyrażenie $x-4$ zmienia znak z ujemnego na dodatni w punkcie $x=4$.
 Liczby rzeczywiste Wartość bezwzględna Teoria 01/03/002 060. ( pkt.)   340

Rozwiążemy nierówność w każdym z przedziałów osobno, a na koniec połączymy otrzymane rozwiązania.
Przypadek I. $x\in(-\infty,0)$
$\begin{split}
|x|+|x-4|&\leqslant 6-x\\
-x-(x-4)&\leqslant6-x\\
-2x+4&\leqslant 6-x\\
-x&\leqslant 2\Big/\cdot (-1)\\
x&\geqslant -2.
\end{split}$
Biorąc pod uwagę, że $x\in(-\infty,0)$, otrzymujemy
$x\in\langle-2,0).$
Przypadek II. $x\in\langle0,4)$
$\begin{split}
|x|+|x-4|&\leqslant 6-x\\
x-(x-4)&\leqslant6-x\\
4&\leqslant 6-x\\
x&\leqslant 2.
\end{split}$
Biorąc pod uwagę, że $x\in\langle0,4)$, otrzymujemy
$x\in\langle0,2\rangle.$
Przypadek III. $x\in\langle4,+\infty)$
$\begin{split}
|x|+|x-4|&\leqslant 6-x\\
x+(x-4)&\leqslant6-x\\
2x-4&\leqslant 6-x\\
3x&\leqslant 10\Big/:3\\
x&\leqslant \frac{10}{3}\\
x&\leqslant3\frac{1}{3}
\end{split}$
Biorąc pod uwagę, że $x\in\langle4,\infty)$, nie otrzymujemy w tym przypadku rozwiązań nierówności.

Ostatecznie, sumując rozwiązania ze wszystkich przedziałów, otrzymujemy
$x\in\left\langle -2,2\right\rangle$.