Wielomiany i ich pierwiastki

Wielomiany i ich pierwiastki

Weźmy ciąg liczb, $a_n,a_{n-1},\dots, a_2,a_1,a_0$, przy czym załóżmy, ze liczba $a_n\neq0$. Funkcję $W$ określoną dla każdego $x\in\mathbb{R}$ wzorem$$W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$$nazywamy wielomianem $n-$tego stopnia. Liczby $a_n,a_{n-1},\dots, a_2,a_1,a_0$ nazywamy współczynnikami wielomianu $W(x)$ przy czym liczbę $a_0$ nazywamy również wyrazem wolnym tego wielomianu.
Wielomiany stopnia pierwszego nazywamy dwumianami, a wielomiany stopnia drugiego trójmianami kwadratowymi lub krótko trójmianami.
Np.:$ W(x)= -2x^7-4x^6 +\frac{1}{2}x^3-x^2-x+\pi$ jest wielomianem siódmego stopnia.
Wielomian $P(x)=x^2-3x+7 $ jest trójmianem kwadratowym, a wielomian $Q(x)=3x-7$ jest dwumianem.
Pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ nazywamy każdą liczbę $a$ taką, że $W(a)=0$.
Wielomian $n-$tego stopnia ma co najwyżej $n$ pierwiastków.
Mówimy, że wielomian $W(x)$ jest podzielny przez wielomian $P(x)$, jeżeli istnieje taki wielomian $Q(x)$, że $W(x)=P(x)\cdot Q(x)$. Piszemy wtedy $\begin{gather*}\frac{W(x)}{P(x)}=Q(x).\end{gather*}$
Wielomian $R(x)$ nazywamy resztą z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez wielomian $P(x)$, jeżeli istnieje taki wielomian $Q(x)$ że $W(x)=P(x)\cdot Q(x)+R(x)$ i stopień wielomianu $R(x)$ jest mniejszy od stopnia wielomianu $P(x)$.
W szczególności liczba $c$ jest resztą z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $ax+b$ jeżeli istnieje taki wielomian $Q(x)$, że $W(x)=Q(x)\cdot (ax+b)+c$.
Twierdzenie 1.
Resztą z dzielenia wielomianu $W(x)$ przez dwumian $x-a$ jest liczba równa $W(a)$. Oznacza to, że istnieje taki wielomian $Q(x)$, że $W(x)= Q(x)\cdot (x-a)+W(a)$.
Twierdzenie 2.
Liczba $a$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian $W(x)$ jest podzielny przez dwumian $x-a$.

Rozpatrzmy teraz wielomian $W(x)$, który ma wszystkie współczynniki całkowite:
Twierdzenie 3.
Jeżeli wielomian $W(x)$ ma całkowite współczynniki, to jego pierwiastki całkowite różne od zera (o ile istnieją), są dzielnikami wyrazu wolnego.
Twierdzenie to pozwala ograniczyć się jedynie do zbioru dzielników wyrazu wolnego, przy poszukiwaniu całkowitych pierwiastków wielomianu. Przytoczymy tu jeszcze jedno, przydatne twierdzenie, które nieco wykracza poza zakres wymagań szkoły średniej, ale jest proste i może się przydać.
Twierdzenie 4.
Jeżeli wielomian $n-$tego stopnia $W(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_2x^2+a_1x+a_0$ ma całkowite współczynniki, to każdy jego pierwiastek wymierny, różny od zera można przedstawić w postaci $\frac{p}{q}$, gdzie $p$ jest dzielnikiem wyrazu wolnego $a_0$, a $q$ jest dzielnikiem wyrazu $a_n$
.
Przykład 1.
Wielomian $W(x)= 3x^4-2x^3+3x^2-x+2$, jeżeli ma pierwiastki całkowite, to jedynie w zbiorze $\left\{-1,1,2,-2\right\}$. Jeżeli ma pierwiastki wymierne to są one w zbiorze $\left\{-1,1,2,-2,\frac{-1}{3}, \frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{-2}{3}\right\}$.