Wzory skróconego mnożenia

Podstawowe wzory skróconego mnożenia:


$$\begin{gather}
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\
a^2-b^2=(a-b)(a+b)\\
(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\
(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\
a^3+b^3=(a+b)\left(a^2-ab+b^2\right)\\
a^3-b^3=(a-b)\left(a^2+ab+b^2\right).
\end{gather}$$

Wzór dwumianowy Newtona


Wzór ten służy do obliczania n-tej potęgi dwumianu $a+b$.
$\begin{multline*}
(a+b)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\\
+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\dots+\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+\dots+\\
+\dots\binom{n}{n-2}a^2b^{n-2}+\binom{n}{n-1}ab^{n-1}+\binom{n}{n}b^n.
\end{multline*}$

Wyrażenie $\begin{split}\binom{n}{k}\end{split}$ (symbol Newtona) wyliczamy ze wzoru

$\begin{gather*}
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}
\end{gather*}$, gdzie $n$ i $k$ są liczbami naturalnymi, $n\geqslant 1$ i $n\geqslant k$.

$\begin{gather*}n!=1\cdot 2\cdot \dots\cdot n\end{gather*}$, dla $n\geqslant 1$. $0!=1$.

Współczynniki dwumianu Newtona można wyznaczyć z prezentowanego niżej trójkąta Pascala.

$$\begin{gather*}
1\\
1\quad1\\
1\quad2\quad1\\
1\quad3\quad3\quad1\\
1\quad4\quad6\quad4\quad1\\
1\quad5\quad\ 10\quad10\quad5\quad1\\
\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots
\end{gather*}$$

Łatwo się domyślić jak, w razie potrzeby, konstruować kolejne wiersze trójkąta Pascala. Każdy wiersz zawiera współczynniki wzoru Newtona dla odpowiedniej potęgi n.

Przykład.
Posługując się odpowiednim wierszem trójkąta Pascala otrzymujemy:
\begin{gather*}
\left(a+b\right)^5=a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5.
\end{gather*}